本章开始介绍了堆的基本概念，然后引入最大堆和最小堆的概念。全章采用最大堆来介绍堆的操作，两个重要的操作是调整最大堆和创建最大堆，接着着两个操作引进了堆排序，最后介绍了采用堆实现优先级队列。
1、堆
堆给人的感觉是一个二叉树，但是其本质是一种数组对象，因为对堆进行操作的时候将堆视为一颗完全二叉树，树种每个节点与数组中的存放该节点值的那个元素对应。所以堆又称为二叉堆，堆与完全二叉树的对应关系如下图所示：
通常给定节点i，可以根据其在数组中的位置求出该节点的父亲节点、左右孩子节点，这三个过程一般采用宏或者内联函数实现。书上介绍的时候，数组的下标是从1开始的，所有可到：PARENT(i)=i/2 LEFT(i) = 2*i RIGHT(i) = 2*i+1。
根据节点数值满足的条件，可以将分为最大堆和最小堆。最大堆的特性是：除了根节点以外的每个节点i，有A[PARENT(i)] >= A[i],最小堆的特性是：除了根节点以外的每个节点i，有A[PARENT(i)] >=A[i]。
把堆看成一个棵树，有如下的特性：
（1）含有n个元素的堆的高度是lgn。
（2）当用数组表示存储了n个元素的堆时，叶子节点的下标是n/2+1，n/2+2，……，n。
（3）在最大堆中，最大元素该子树的根上；在最小堆中，最小元素在该子树的根上。
2、保持堆的性质
堆个关键操作过程是如何保持堆的特有性质，给定一个节点i，要保证以i为根的子树满足堆性质。书中以最大堆作为例子进行讲解，并给出了递归形式的保持最大堆性的操作过程MAX-HEAPIFY。先从看一个例子，操作过程如下图所示：
从图中可以看出，在节点i=2时，不满足最大堆的要求，需要进行调整，选择节点2的左右孩子中最大一个进行交换，然后检查交换后的节点i=4是否满足最大堆的要求，从图看出不满足，接着进行调整，直到没有交换为止。书中给出了递归形式的为代码，我用C语言实现如下所示：
1 void adjust_max_heap_recursive(int *datas,int length,int i) 2 { 3 int left,right,largest; 4 int temp; 5 left = LEFT(i); //left child 6 right = RIGHT(i); //right child 7 //find the largest value among left and rihgt and i. 8 if(left<=length && datas[left] > datas[i]) 9 largest = left;10 else11 largest = i;12 if(right <= length && datas[right] > datas[largest])13 largest = right;14 //exchange i and largest15 if(largest != i)16 {17 temp = datas[i];18 datas[i] = datas[largest];19 datas[largest] = temp;20 //recursive call the function,adjust from largest21 adjust_max_heap(datas,length,largest);22 }23 } 课后习题要求给出其非递归的形式，我想了半天，才搞出来，领悟能力有限啊。非递归就要考虑要循环进行实现，需要考虑的是循环结束条件是什么。对一个给定的节点i，要对其进行调整使其满足最大堆的性质。总的思想是先找出节点i的左右孩子节点，然后从三者中找到最大的节点，如果找到的最大节点就是i，说明i节点满足堆的性质，此时循环就结束了。如果找到的最大节点不是节点i，那么这个时候就要将最大的节点（设为largest）与节点i进行交换，然后从largest节点开始循环进行调整，直到满足条件为止。给出非递归的调整堆程序如下：
1 void adjust_max_heap(int *datas,int length,int i) 2 { 3 int left,right,largest; 4 int temp; 5 while(1) 6 { 7 left = LEFT(i); //left child 8 right = RIGHT(i); //right child 9 //find the largest value among left and rihgt and i.10 if(left <= length && datas[left] > datas[i])11 largest = left;12 else13 largest = i;14 if(right <= length && datas[right] > datas[largest])15 largest = right;16 //exchange i and largest17 if(largest != i)18 {19 temp = datas[i];20 datas[i] = datas[largest];21 datas[largest] = temp;22 i = largest;23 continue;24 }25 else26 break;27 }28 } 3、建堆
建立最大堆的过程是自底向上地调用最大堆调整程序将一个数组A[1.....N]变成一个最大堆。将数组视为一颗完全二叉树，从其最后一个非叶子节点（n/2）开始调整。调整过程如下图所示：
书中给出了创建堆的为代码，我用C语言实现如下：
1 void build_max_heap(int *datas,int length)2 {3 int i;4 //build max heap from the last parent node5 for(i=length/2;i>0;i--)6 adjust_max_heap(datas,length,i);7 } 4、堆排序算法
堆排序算法过程为：先调用创建堆函数将输入数组A[1...n]造成一个最大堆，使得最大的值存放在数组第一个位置A[1]，然后用数组最后一个位置元素与第一个位置进行交换，并将堆的大小减少1，并调用最大堆调整函数从第一个位置调整最大堆。给出堆数组A={4,1,3,16,9,10,14,8,7}进行堆排序简单的过程如下：（1）创建最大堆，数组第一个元素最大，执行后结果下图：
（2）进行循环，从length(a)到2，并不断的调整最大堆，给出一个简单过程如下：
书中给出了对排序为代码，我用C语言实现如下所示：
1 void heap_sort(int *datas,int length) 2 { 3 int i,temp; 4 //bulid max heap 5 build_max_heap(datas,length); 6 i=length; 7 //exchange the first value to the last unitl i=1 8 while(i>1) 9 {10 temp = datas[i];11 datas[i] = datas[1];12 datas[1] =temp;13 i--;14 //adjust max heap,make sure the fisrt value is the largest15 adjust_max_heap(datas,i,1);16 }17 } 结合上面的调整堆和创建堆 的过程，写个简单测试程序连续堆排序，程序如下所示：
View Code 程序测试结果如下所示：
堆排序算法时间复杂度：调整堆过程满足递归式T(n)<=T(2n/3)+θ(1)，有master定义可以知道T(n) = O(lgn)，堆排序过程中执行一个循环，调用最大堆调整函数，总的时间复杂度为O(nlgn）。
5、问题
（1）在创建最大堆的过程中，为什么从最后一个非叶子节点（n/2）开始到第一个非叶子（1）结束，而不是从第一个非叶子节点（1）到最后一个非叶子节点（n/2）结束呢？
我的想法是：如果是从第一个非叶子节点开始创建堆，有可能导致创建的堆不满足堆的性质，使得第一个元素不是最大的。这样做只是使得该节点的和其左右孩子节点满足堆性质，不能确保整个树满足堆的性质。如果最大的节点在叶子节点，那么将可能不会出现在根节点中。例如下面的例子：
从图中可以看出，从第一个非叶子节点开始创建最大堆，最后得到的结果并不是最大堆。而从最后一个非叶子节点开始创建堆时候，能够保证该节点的子树都满足堆的性质，从而自底向上进行调整堆，最终使得满足最大堆的性质。